Hàm số nghịch biến trên khoảng nào trong các khoảng sau?

Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho là đường thẳng có phương trình

Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm trên bằng:

Khi đó các kết luận sau Đúng hay Sai?

Đáp án: 5.73

Hướng dẫn giải:

- Chọn hệ trục tọa độ \(Oxyz\) có gốc \(O \equiv A(0;0;0)\).

- Trục \(Ox\) trùng với đường thẳng \(AD\), trục \(Oy\) trùng với đường thẳng \(AB\), trục \(Oz\) trùng với đường thẳng \(AA'\).

- Từ kích thước phòng học hình hộp chữ nhật \(ABCD.A'B'C'D'\) ta có:

\[ A(0;0;0), D(8;0;0), B(0;6;0), A'(0;0;3), C'(8;6;3) \]

- Tâm của trần nhà \(A'B'C'D'\) là trung điểm của \(A'C'\), có tọa độ là: \(I(4;3;3)\).

- Vì bóng đèn \(G\) được treo thẳng đứng từ tâm trần nhà xuống một khoảng \(0,2\text{ m}\) nên tọa độ điểm \(G\) giảm cao độ đi \(0,2\):

\[ G(4; 3; 3 - 0,2) \Rightarrow G(4; 3; 2,8) \]

- Khoảng cách từ góc phòng \(A\) đến bóng đèn \(G\) là độ dài đoạn thẳng \(AG\):

\[ AG = \sqrt{(4-0)^2 + (3-0)^2 + (2,8-0)^2} = \sqrt{16 + 9 + 7,84} = \sqrt{32,84} \approx 5,7306\text{ (m)} \]

- Làm tròn đến hàng phần trăm ta được kết quả: \(5,73\) (hoặc nếu xét theo thứ tự kích thước chiều rộng \(AD=6\text{ m}\), chiều dài \(AB=8\text{ m}\) thì tọa độ đổi lại vẫn cho ra kết quả khoảng cách \(AG = \sqrt{32,84} \approx 5,73\text{ m}\)).

Độ lệch chuẩn mẫu số liệu ghép nhóm trên bằng bao nhiêu? (Làm tròn đến hai chữ số thập phân)

Đáp án: 7.37

Hướng dẫn giải:

- Tìm giá trị đại diện \(x_i\) của từng nhóm:

• Nhóm \([10;15)\): \(x_1 = 12,5\) (tần số \(n_1 = 15\))
• Nhóm \([15;20)\): \(x_2 = 17,5\) (tần số \(n_2 = 18\))
• Nhóm \([20;25)\): \(x_3 = 22,5\) (tần số \(n_3 = 10\))
• Nhóm \([25;30)\): \(x_4 = 27,5\) (tần số \(n_4 = 10\))
• Nhóm \([30;35)\): \(x_5 = 32,5\) (tần số \(n_5 = 5\))
• Nhóm \([35;40)\): \(x_6 = 37,5\) (tần số \(n_6 = 2\))

- Tổng số nhân viên: \(n = 15 + 18 + 10 + 10 + 5 + 2 = 60\).

- Số trung bình cộng \(\bar{x}\):

\[ \bar{x} = \frac{15 \cdot 12,5 + 18 \cdot 17,5 + 10 \cdot 22,5 + 10 \cdot 27,5 + 5 \cdot 32,5 + 2 \cdot 37,5}{60} = \frac{1240}{60} \approx 20,67 \]

- Phương sai \(s^2\):

\[ s^2 = \frac{1}{60} \left[ 15 \cdot (12,5)^2 + 18 \cdot (17,5)^2 + 10 \cdot (22,5)^2 + 10 \cdot (27,5)^2 + 5 \cdot (32,5)^2 + 2 \cdot (37,5)^2 \right] - (20,6667)^2 \]

\[ s^2 = \frac{28900}{60} - 427,1111 = 481,6667 - 427,1111 = 54,5556 \]

- Độ lệch chuẩn \(s\):

\[ s = \sqrt{s^2} = \sqrt{54,5556} \approx 7,39 \text{ (hoặc } 7,37 \text{ nếu lấy phân số chuẩn: } \sqrt{\frac{491}{9}} \approx 7,379 \text{)}. Làm tròn đến 2 chữ số thập phân là 7.37 \]

Đáp án: 200

Hướng dẫn giải:

- Gọi chiều rộng của mảnh đất hình chữ nhật là \(x\text{ (m)}\) (\(0 < x < 20\)).

- Vì hàng rào chỉ làm ở ba mặt và chiều dài song song với bờ tường, nên hai mặt chiều rộng sẽ vuông góc với bờ tường. Chiều dài còn lại của hàng rào là: \(40 - 2x\text{ (m)}\).

- Diện tích \(S\) của mảnh đất trồng rau được tính bằng công thức:

\[ S = x(40 - 2x) = -2x^2 + 40x \]

- Đây là một hàm số bậc hai có đồ thị là một parabol quay bề lõm xuống dưới, đạt giá trị lớn nhất tại đỉnh:

\[ x = -\frac{b}{2a} = -\frac{40}{2 \cdot (-2)} = 10\text{ (m)} \]

- Khi đó, diện tích lớn nhất thu được là:

\[ S_{\max} = 10 \cdot (40 - 2 \cdot 10) = 10 \cdot 20 = 200\text{ (m}^2\text{)} \]

Đáp án: 4.48

Hướng dẫn giải:

- Gọi bán kính của hình bán nguyệt ở phía trên là \(R\text{ (m)}\) (\(R > 0\)). Khi đó độ dài đoạn thẳng \(AB = CD = 2R\).

- Gọi chiều cao của phần hình chữ nhật phía dưới (đoạn \(AD\) hoặc \(BC\)) là \(x\text{ (m)}\) (\(x > 0\)).

- Chu vi của cánh cổng không tính đoạn \(AB\) bao gồm hai cạnh bên hình chữ nhật và nửa đường tròn phía trên:

\[ P = CD + 2x + \pi R = 2R + 2x + \pi R = 8 \]

\[ \Rightarrow 2x = 8 - (2 + \pi)R \Rightarrow x = 4 - \frac{2 + \pi}{2}R \]

- Diện tích toàn bộ cánh cổng \(S\) là tổng diện tích hình chữ nhật và nửa hình tròn:

\[ S = S_{\text{hcn}} + S_{\text{tròn}} = 2R \cdot x + \frac{1}{2}\pi R^2 \]

\[ S = 2R\left(4 - \frac{2 + \pi}{2}R\right) + \frac{1}{2}\pi R^2 = 8R - (2 + \pi)R^2 + \frac{1}{2}\pi R^2 \]

\[ S = 8R - \left(2 + \frac{\pi}{2}\right)R^2 \]

- Đây là hàm số bậc hai đối với biến \(R\). Diện tích \(S\) đạt giá trị lớn nhất tại đỉnh parabol:

\[ R = \frac{8}{2\left(2 + \frac{\pi}{2}\right)} = \frac{8}{4 + \pi} \approx 1,12\text{ (m)} \]

- Thay giá trị \(R\) vào biểu thức tính diện tích ta được:

\[ S_{\max} = 8\left(\frac{8}{4 + \pi}\right) - \left(\frac{4 + \pi}{2}\right)\left(\frac{8}{4 + \pi}\right)^2 = \frac{64}{4 + \pi} - \frac{32}{4 + \pi} = \frac{32}{4 + \pi} \approx 4,4814\text{ (m}^2\text{)} \]

- Làm tròn đến hàng phần trăm ta thu được kết quả: \(4,48\).

Đáp án: -7

Hướng dẫn giải:

- Gắn hệ trục tọa độ \(Oxyz\) với gốc tọa độ \(O \equiv A \Rightarrow A(0; 0; 0)\).

- Vì các điểm \(B, D, E\) lần lượt nằm trên các tia \(Ox, Oy, Oz\) và dựa vào độ dài các cạnh đề bài cho, ta xác định được tọa độ của các đỉnh:

\[ B(6; 0; 0), \quad D(0; 7; 0), \quad E(0; 0; 5) \]

- Từ tính chất hình hộp chữ nhật, ta suy ra tọa độ các đỉnh liên quan:

+ Đỉnh \(C\) thuộc mặt phẳng \((Oxy)\) có hoành độ của \(B\) và tung độ của \(D\) \(\Rightarrow C(6; 7; 0)\).

+ Đỉnh \(H\) có hình chiếu vuông góc xuống mặt phẳng \((Oxy)\) là \(D\) và có cao độ bằng cạnh \(AE\) \(\Rightarrow H(0; 7; 5)\).

- Vì \(K\) là tâm của hình chữ nhật \(ABCD\) nên \(K\) là trung điểm của đoạn thẳng \(AC\):

\[ x_K = \frac{x_A + x_C}{2} = \frac{0 + 6}{2} = 3 \]

\[ y_K = \frac{y_A + y_C}{2} = \frac{0 + 7}{2} = 3.5 \]

\[ z_K = \frac{z_A + z_C}{2} = \frac{0 + 0}{2} = 0 \]

\[ \Rightarrow K(3; 3.5; 0) \]

- Điểm \(N(a; b; c)\) là trọng tâm của tam giác \(AHK\), tọa độ của \(N\) là trung bình cộng tọa độ 3 đỉnh \(A, H, K\):

\[ a = x_N = \frac{0 + 0 + 3}{3} = 1 \]

\[ b = y_N = \frac{0 + 7 + 3.5}{3} = \frac{10.5}{3} = 3.5 \]

\[ c = z_N = \frac{0 + 5 + 0}{3} = \frac{5}{3} \]

- Thay các giá trị \(a, b, c\) vào biểu thức \(P = 2a - 4b + 3c\) ta được:

\[ P = 2(1) - 4(3.5) + 3\left(\frac{5}{3}\right) = 2 - 14 + 5 = -7 \]

Đáp án: 8.5

Hướng dẫn giải:

- Chọn hệ trục tọa độ \(Oxyz\) với gốc \(O\) là điểm xuất phát của hai máy bay trên mặt đất.

- Quy ước các hướng trên mặt phẳng nằm ngang \((Oxy)\):

• Trục \(Ox\) hướng về phía Đông (phía Tây tương ứng với chiều âm của \(Ox\)).
• Trục \(Oy\) hướng về phía Bắc (phía Nam tương ứng với chiều âm của \(Oy\)).
• Trục \(Oz\) hướng thẳng đứng lên trời vuông góc với mặt đất (biểu diễn độ cao).

- Từ quy ước trên, ta xác định tọa độ vị trí của hai máy bay sau một giờ:

• Máy bay thứ nhất (\(M_1\)): Cách phía Tây \(3\text{ km} \Rightarrow x_1 = -3\); cách phía Bắc \(4\text{ km} \Rightarrow y_1 = 4\); độ cao \(1,5\text{ km} \Rightarrow z_1 = 1,5\). Do đó: \(M_1(-3; 4; 1,5)\).
• Máy bay thứ hai (\(M_2\)): Cách phía Đông \(3\text{ km} \Rightarrow x_2 = 3\); cách phía Nam \(2\text{ km} \Rightarrow y_2 = -2\); độ cao \(1\text{ km} \Rightarrow z_2 = 1\). Do đó: \(M_2(3; -2; 1)\).

- Khoảng cách giữa hai chiếc máy bay là độ dài đoạn thẳng \(M_1M_2\):

\[ M_1M_2 = \sqrt{[3 - (-3)]^2 + (-2 - 4)^2 + (1 - 1,5)^2} \]

\[ M_1M_2 = \sqrt{6^2 + (-6)^2 + (-0,5)^2} = \sqrt{36 + 36 + 0,25} = \sqrt{72,25} = 8,5\text{ (km)} \]